Fungsi Naik dan Fungsi Turun dan Nilai Extrim

Fungsi Naik dan Fungsi Turun

Definisi :

1.fungsi f dikatakan naik pada interval IE, jika untuk sembarang X1, X2 ∈ I dengan X1 < X2 maka:    f (X1 ) < f (X2 )

2. Fungsi f dikatakan turun pada interval I, jika untuk sembarang X1, X2 ∈ I dengan X1 < X2 maka:

   f (X1 ) > f (X2 )

Contoh soal:
¨Fungsi f(x) = x3 – 6x2 + 9x + 2 turun untuk semua x yang   memenuhi ....

A.-3 < x < -1           C. 1 < X < 3        E. 3 < X < 4              

B. -1 < X < 3           D. 1 < X < 4



Penyelasaian :



F(x) = x3 – 6x2  + 9x + 2

F’(x) = 3x2  -12x + 9

Syarat fungsi turun : f’(x) < 0
3x2  - 12x + 9 < 0  
x2  - 4x + 3     < 0
(x – 1)(x – 3) < 0

dengan garis bilangan diperoleh 1<x<3
 
Nilai Ekstrim
Definisi :

1. Fungsi f dikatakan mempunyai nilai maksimum relatif di C, jika terdapat interval terbuka yang memuat c, sehingga:

    f (c) ≥ f (x)

untuk x dalam interval tersebut.

2. Fungsi f dikatakan mempunyai nilai minimum relatif di C, jika terdapat interval terbuka yang memuat c, sehingga:

  f (c) ≤ f (x)

untuk x dalam interval tersebut.

3. Fungsi f dikatakan mempunyai nilai minimum relatif dan nilai maksimum relatif di C, dikatakan mempunyai ekstrim relatif di C.

Definisi :

Jika f’(x)=0, maka fungsi f dikatakan stasioner di c. Nilai f(c)disebut nilai stasioner dari f. Titik (c,f(c))disebut titik nilai stasioner dari f.

Kecekungan dan Titik Belok
Definisi 6.1

grafik fungsi f dikatakan cekung keatas pada interval I, jika grafik f terletak diatas semua garis singgungnya pada I, grafik fungsi f dikatakan cekung kebawah pada interval I. Jika grafik f terletak dibawah semua garis singgungnya pada I.

Teorema 7.1 uji kecekungan

1. Jika f” (x) > 0 untuk semua x dalam I, maka grafik f cekung keatas pada I

2. Jika f” (x) < 0 untuk semua x dalam I, maka grafik f cekung kebawah pada I

Definisi 6.2

Titik P pada kurva disebut titik belok, jika kurva berubah dari cekung ke atas menjadi cekung ke bawah, atau dari cekung ke bawah menjadi cekung ke atas di P

Jika turunan kedua ada dititik belok , maka turunan kedua dititik tersebutsama dengan nol

Teorema 7.2

Jika f mempunyai turunan pada interval yang memuat c dan

(c, f(c)) adalah titik belok, maka f” c ada dan f”(c)=0.



Selain bermanfaat untuk menentukan titik belok, keuntungan lain dari turunan kedua adalah bahwa turunan tersebut dapat digunakan sebagai uji ekstrim relatif.

Teorema 7.3 (uji turunan kedua untuk ekstrim relatif)

misalkan f mempunyai turunan pada interval terbuka yang memuat c dan f’(c)=0

1. Jika f”(c) < 0, maka f mempunyai nilai maksimum relatif di c.

2. Jika f”(c) > 0, maka f mempunyai nilai minimum

  relatif di c.

Ekstrim Mutlak pada Interval Tertutup

Definisi 6.3

  Misalkan fungsi f terdefinisi pada interval tertutup dan c anggota interal.

1. Jika f(c) ≥ f(x) untuk semua x dalam interval , maka f(c) disebut nilai maksimum mutlak dari f pada interval tersebut.

2. Jika f(c) ≤ f(x) untuk semua x dalam interval , maka f(c) disebut nilai minimum mutlak dari f pada interval tersebut.

3. Jika f(c) maksimum mutlak dan minimum mutlak, maka f(c) disebut nilai ekstrim mutlakdari f

Teorema 6.4 (teorema nilai ekstrim)

Jika fungsi f aljabar dengan daerah asal interval tertutup [a,b], maka f mencapai nilai maksimum mutlak dan minimum mutlak pada [a,b].

Contoh :

Diketahui f(x)= x3  - 3x2  pada interval tertutup [1,4].  Tentukan ekstrim mutlak dari f pada interval tersebut.

Penyelesaian :

Karena kontinu pada interval tertutup. Kita mempunyai

f’(x)= 3x2 – 6x

F’(x)=0⇔3x(x-2)=0

  ⇔ x=2 atau x=0( tidak memenuhi karena diluar interval)

F’(x)= 13 – 3(1)2 = -2 dan f(4)= 43 – 3(4)2 = 16, Dengan membandingkan ketiga bilangan ini, kita dapat nilai maksimum mutlak adalah f(4)=16 dan minumum mutlak adalah f(2)=-4.

PARABOLA

Fungsi kuadrat mempunyai bentuk umum

Y= f(x) = ax2 + bx + c;a≠0;a,b,c konstanta real.

¨Jika nilai a>0 maka parabola terbuka keatas dan mempunyai nilai ekstrim minimum, ¨Jika nilai a<0 maka parabola terbuka kebawah dan mempunyai nilai ekstrim maksimum
Koordinat titik puncak/ titik ekstrim/titik stasioner/titik balik parabola adalah (xp, yp)  dengan:  Y= ax2+bx+c,Xp=   ;  yp=  ; D = b2-4ac

Xp = absis (x) titik puncak =sumbu simetri = absis (x) saat mencapi nilai max dan minYp = ordinat (y) titik puncak = nilai ekstrim/ nilai stationer/ nilai max/ nilai min.

Sketsa Grafik Fungsi Kuadrat/ Parabola

 1. Menentukan titik potong grafik dengan sumbu x ày=0 

¨Jika D<0 maka fungsi tersebut memeng tidak memiliki akar-akar persamaan fungsi kuadrat sehingga sketsa grafik fungsi kuadrat tidak memotong sumbu x ¨Jika D>0 maka fungsi tersebut memiliki akar-akar persamaan fungsi kuadrat menggunakan: x1.2= 
b. menentukan titik potong grafik dengan sumbu y → x =0 karena x = 0 maka y = c dan titik potong dengan sumbu y = ( 0 , c )

c. menentukan sumbu simetri ( xp ) dan titik ekstrem (yp) dari penentuan sumbu simetri (xp) dan nilai eksterm   (yp) diperoleh titik puncak grafik fungsi kuadrat/parabola:( Xp , Yp)

  1. Persamaan Fungsi Kuadrat / Parabola

  a. Diketahui tiga titik sembarang

 Rumus: y = ax2+bx+c
  nilai a, b dan c ditentukan   dengan eliminasi.

  b. Parabola memotong sumbu x didua titik (x1,0) dan (x2,0)dan melalui satu titik sembarang

Rumus: y = a(x-x1).(x-x2)
         nilai a ditentukan dengan         memasukkan titik sembarang          tersebut ke x dan Y

 c. Parabola menyinggung sumbu x di satu titik (x1,0) dan melalui satu titik sembarang.



  Rumus : y = a ( x - x1 )2 
  nilai a ditentukan dengan   memasukkan titik sembarang   tersebut ke x dan y.



d. Parabola melalui titik puncak ( xp , yp ) dan melalui satu titik sembarang.

  Rumus : y = a ( x - xp )2 + yp
  nilai a ditentukan dengan   memasukkan titik sembarang   tersebut ke x dan y.